无数知谈麦克斯韦从麦克斯韦程组里出了电磁波，然后通过缠绵发现电磁波的速率正值等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是种电磁波”朝阳塑料挤出机设备，这个预言自后被赫兹阐明。
电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁表面走上了神坛，也让东谈主类社会投入了线电时间。你当今可以随时给远的一又友电话，能用手机看科学类著述，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎么从麦克斯韦程组出电磁波程的呢？这篇著述咱们就来起见证这古迹的时刻。
01什么是波？
法子路电磁波，先咱们得了解什么是波？有些东谈主可能以为这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢块石头到水里，水面上就会造成个水波；我抖动根绳索，绳索上就会就会出现个波动。生涯中还有好多这种波动表象，我天然念书少，但是什么是波如故知谈的。
没错，水波、绳索上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：通盘这些叫作波的东西有什么共同的特征？咱们如何用套统的数学谈话来描写波？
咱们研究物理，便是从万千变化的天然界的多样表象里总结出某种致，然后用数学的谈话定量、精准的描写这种致的表象。当今咱们发现了水波、绳索上的波等许多表象都有这样种波动表象，那咱们天然就要去寻找这种波动表象背后统的数学司法，也便是寻找描写波动表象的程，即波动程。
为了寻找统的波动程，咱们先来望望简短的波：抖动根绳索，绳索上就会出现个波沿着绳索迁徙，以恒定的频率抖动就会出现集合连续的波。
为了好地研究绳索上的波动，咱们先配置个坐标系，然后把谨防力集中到其中的个波上。于是，咱们就看到个波以定的速率v向x轴的正向（右边）迁徙，如下图：
那么，咱们该如何去描写这种波动呢？
先，咱们知谈个波是在不竭地迁徙的，上图仅仅波在某个时刻的容颜，它下个时刻就会往右边迁徙点。迁徙了若干也很好缠绵：因为波速为v，是以朝阳塑料挤出机设备Δt时期以后这个波就会往右迁徙v·Δt的距离。
另外，我不论这个时刻波是什么口头的弧线，归正我可以把它行为系列的点（x,y）的集，这样咱们就可以用个函数y=f(x)来描写它（函数便是种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定个x，通过定的操作f(x)就能得到个y，这对（x,y）就构成了坐标系里的个点，把通盘这种点连起来就得到了条弧线）。
然后，y=f(x)仅仅描写某个时刻的波的口头，如若咱们想描写个完满动态的波，就得把时期t磋议进来。也便是说咱们的波形是跟着时期变化的，即：我绳索上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x辩论，还跟时期t辩论，这样的话咱们就得用个二元函数y=f(x,t)来描写个波。
这步很好露出，它非告诉咱们波是随时期（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，寰宇上到处都是跟着时期、空间变化的东西，比如苹果下跌、篮球在天上飞，它们跟波的实质区别又在哪呢？
02波的实质
仔细想下咱们就会发现：波在传播的时候，天然不同期刻波所在的位置不样，但是它们的口头永远是样的。也便是说前秒波是这个口头，秒之后波天然不在这个地了，但是它依然是这个口头，这是个很强的兑现条目。有了这个兑现条目，咱们就能把波和其它在时期、空间中变化的东西分散开了。
咱们这样磋议：既然用f(x,t)来描写波，那么波的开动口头（t=0时的口头）就可以暗意为f(x,0)。经过了时期t之后，波速为v，那么这个波就向右边迁徙了vt的距离，也便是把开动口头f(x,0)往右迁徙了vt，那么这个成果可以这样暗意：f(x-vt,0)。
为什么把个函数的图像往右迁徙了段vt，成果却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是个中学数学问题，我这里稍稍帮大牵挂下：你们想，如若我把个函数图像f(x)往右迁徙了3，那么我本来在1这个地的值f(1)，当今就成了4这个地的函数值。是以，如若你还想用f(x)这个函数，那战胜就得用4减去3（这样才能得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可莫得什么意旨）。
是以，如若咱们用f(x,t)描写波，那么开动时刻（t=0）的波可以暗意为f(x,0)。经逾期期t之后的波的图像就等于开动时刻的图像往右迁徙了vt，也便是f(x-vt,0)。于是，咱们就可以从数学上给出波阐明的实质：
也便是说，只消有个函数骄慢f(x,t)=f(x-vt,0)，骄慢恣意时刻的口头都等于开动口头平移段，那么它就暗意个波。水波、声波、绳索上的波、电磁波、引力波都是如斯，这也很符咱们对波的直不雅露出。
这里咱们是从纯数学的角度给出了波的个描写，底下咱们再从物理的角度来分析下波的造成原因，望望能不可得到多的信息。
03张力
根绳索放在地上的时候是静止不动的，咱们甩下就会出现个波动。咱们想想：这个波是怎么传到远去的呢？咱们的手仅仅拽着绳索的端，并莫得遭受绳索的中间，但是当这个波传到中间的时候绳索确乎动了，绳索会动就暗意有劲作用在它身上（牛爵爷告诉咱们的风趣风趣），那么这个力是那儿来的呢？
稍稍分析下咱们就会发现：这个力只能能来自绳索相邻点之间的相互作用，每个点把我方近邻的点“拉”下，近邻的点就动了（就跟咱们排队报数的时候只奉告你左右的阿谁东谈主样）这种绳索里面之间的力叫张力。
张力的主张也很好露出，比如咱们用劲拉根绳索，我明明对绳索施加了个力，但是这根绳索为什么不会被拉长？跟我的手近的阿谁点为什么不会被拉动？
谜底天然是这个点支配的点给这个质点施加了个相背的张力，这样这个点边被我拉，另边被它相近的点拉，两个力的果对消了。但是力的作用又是相互的，支配的点给端点施加了个张力，那么这个支配的点也会受到个来自端点的拉力，关联词这个支配的点也没动，是以它也然会受到里面点的张力。这个经过可以直传播下去，后的成果便是这跟绳索通盘的地都会张力。
况兼，咱们还可以料定：如若绳索的质料忽略不计，绳索也莫得结莫得被拉长，那么绳索里面的张力处处很是（只消有个点双方的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳索就会被拉变形），这是个很重要的论断。
通过上头的分析，咱们知谈了当根期许绳索处于紧绷景况的时候，绳索里面存在处处很是的张力。当根绳索静止在大地的时候，它处于苟且景况，莫得张力，但是当个波传到这里的时候，绳索会变成个波的口头，这时候就存在张力了。恰是这种张力让绳索上的点高下振动，是以，分析这种张力对绳索的影响就成了分析波动表象的要害。
04波的受力分析
那么，咱们就从处于波动景况的绳索中聘用很小的段AB，咱们来分析下这个小段绳索在张力的作用下是如何阐明的。省心，咱们这里并不会波及什么复杂的物理公式，咱们所需要的公式就个，大名鼎鼎的牛顿二定律：F=ma。
牛顿定律告诉咱们“个物体在不受力或者受到的外力为0的时候会保抓静止或者匀速直线阐明景况”，那么如若外力不为0呢？牛顿二定律就接着说了：如若外力F不为，那么物体就会有个加快度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描写（m是物体的质料）。也便是说，如若咱们知谈个物体的质料m，只消你能分析出它受到的外力F，那么咱们就可以凭证牛顿二定律F=ma缠绵出它的加快度a，知谈加快度就知谈它接下来要怎么动了。
牛顿二定律就这样把个物体的受力情况（F）和阐明情况（a）结起来了朝阳塑料挤出机设备，咱们想知谈个物体是怎么动的，只消去去分析它受到了什么力就行了，是以它牛。
再来看咱们的波，咱们从处于波动景况的绳索里中式很小的段AB，咱们想知谈AB是怎么阐明的，就要分析它受到的外力。因为不磋议绳索的质料，是以就无谓磋议绳索的重力，那么，咱们就只消分析绳索AB两头的张力T就行了。
如上图，绳索AB受到A点朝左下的张力T和B点朝右上的张力T，况兼咱们还知谈这两个张力是很是的，是以才把它都记为T。但是，咱们知谈波动部分的绳索是蜿蜒的，那么这两个张力的向是不样的，这点从图中可以非凡昭着的看出来。咱们假定A点处张力的向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就昭着不样了，咱们记为θ+Δθ。
因为绳索上的点在波动时是高下阐明，是以咱们只磋议张力T在高下进取的重量，水平进取的就不磋议了。那么，咱们把AB两点的张力T都瓦解下，稍稍用点三角函数的常识咱们就能发现：A点出进取的张力为T·sin（θ+Δθ），B点向下的张力为T·sinθ。那么，通盘AB段在竖直进取受到的力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。
好了，按照牛顿二定律F=ma，咱们需要知谈物体的外力F、质料m和加快度a，当今咱们照旧知谈了外力F，那么质料m和加快度a呢？
05波的质料分析
质料好说，咱们假定绳索单元长度的质料为μ，那么长度为Δl的绳索的质料便是μ·Δl。
但是，因为咱们取的哀痛常小的段，咱们假定A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也便是说绳索AB在横坐地点投影长度为Δx，那么，当咱们取的绳长非凡短的时候，咱们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳索的质料就可以暗意为：μ·Δx（本来我在磋议这里要不要再解释下微积分想想，但是想，会看这篇电磁波篇的，须是照旧提前看了麦克斯韦程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里照旧先容过这种想想了，那这里就不说了~）。
质料处理了，剩下的便是加快度a了。你可能以为我照旧得到了外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质料m（μ·Δx），那么剩下战胜便是用外力F除以质料m得到加快度a（牛顿二定律），不不不，这样就不好玩了。咱们还可以从另个角度来得到加快度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从那儿得到加快度呢a？从描写波的函数f(x,t)里。
06波的加快度分析
不知谈大还谨记咱们在前边说的这个描写波的函数y=f(x,t)么？这个函数的值y暗意的是在x这个地，时期为t的时候这点的纵坐标，也便是波的度。咱们当今要求的也便是AB高下波动时的加快度，那么，怎么从这个描写点位置的函数里求出加快度a呢？
这里咱们再来露出下加快度a，什么叫加快度？从名字就可以嗅觉到，这个量是用来臆度速率变化快慢的。加快度嘛，战胜是速率加得越快，加快度的值就越大。假如辆车1秒的速率是2m/s，2秒的速率是4m/s，那么它的加快度便是用速率的差（4-2=2）除以时期差（2-1=1），成果便是2m/s²。
再来往想下，咱们是怎么求辆车的速率的？咱们是用距离的差来除以时期差的。比如辆车1秒钟距离首先20米，2秒钟距离首先50米，那么它的速率便是用距离的差（50-20=30）除以时期差（2-1=1），成果便是30m/s。
不知谈大从这两个例子里发现了什么莫得？我用距离的差除以时期差就得到了速率，我再用速率的差除以时期差就得到了加快度，这两个经过都是除以时期差。那么，如若我把这两个经过到块呢？那是不是就可以说：距离的差除以次时期差，再除以次时期差就可以得到加快度？
这样表述并不是很准确，但是可以很便的让大露出这个想想。如若把距离看作对于时期的函数，咱们对这个函数求次数（便是上头的距离差除以时期差，只不外趋于穷小）就得到了速率的函数，对速率的函数再求次数就得到了加快度的暗意。是以，咱们把个对于距离（位置）的函数对时期求两次数，就可以得到加快度的抒发式。
波的函数f(x,t)未便是描写绳索上某点在不同技术t的位置么？那咱们对f(x,t)求两次对于时期的数，天然就得到了这点的加快度a。因为函数f是对于x和t两个变量的函数，是以咱们只能时期的偏∂f/ ∂t，再求次偏数就加个2上去。于是咱们就可以这样暗意这点的加快度a=∂²f/ ∂t²（对于偏数的先容，微分篇里有属目阐扬，这里不再说明）。
这样，咱们就把牛顿二定律F=ma的三身分都凑都了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们集在起就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的阐明程了：
这个用牛顿二定律写出来的波动程，看起来怎么样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太澄澈，程左边的东西看着太难得了，咱们还需要对它进行番翻新。那怎么翻新呢？咱们可以先把sinθ给干掉。
07程的翻新
为了大致成功地干掉sinθ，咱们先来往顾下基本的三角函数：
如上图，右边是个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
当这个角度θ还很大的时候，a比b要昭着长些。但是，花旦度θ非凡非凡小，可以遐想，邻边b和斜边a就将近重了。这时候咱们是可以近似的认为a和b是很是的，也便是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。
也便是说，在角度θ很小的时候，咱们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。咱们假定这跟绳索的扰动非凡小，形变非凡小，那么θ和θ+Δθ就都非凡小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，阿谁波动程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。
为什么咱们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表条直线的斜率，代表弧线在某点的数。想想正切值的抒发式tanθ=c/b，如若建个坐标系，那么这个c刚好便是直线在y轴的投影dy，b便是在x轴的投影dx，它们的比值刚好便是数dy/dx，也便是说tanθ=dy/dx。
关联词，因为波的函数f(x,t)是对于x和t的二元函数，是以咱们只能求某点的偏数，那么正切值就等于它在这个点的偏数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，本来的波动程就可以写成这样：
这里我稍稍解释下偏数的标记，咱们用∂f/ ∂x暗意函数f(x,t)的偏数，这是个函数，x可以取多样各类的值。但是如若我加个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就暗意我要求在x+Δx这个地的数。
再来看下这个图，咱们照旧商定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的角度为θ+Δθ。是以，咱们可以用x+Δx和x这两处的偏数值代替θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，是以波动程才可以写成上头那样：
接着，如若咱们再对程的双方同期除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实便是∂f/ ∂x这个函数的数抒发式。也便是说，双方同期除以个Δx之后，左边就变成了偏数∂f/ ∂x对x再求次数，那便是f(x,t)对x求二阶偏数了。
上头咱们用咱们照旧用∂²f/ ∂t²来暗意函数对t的二阶偏数，那么这里天然就可以用∂²f/ ∂x²来暗意函数对x的二阶偏数。然后双方再同期除以T，得到程就简约多了：
把程左边的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x,t)对空间x的二阶偏数，这个经过非凡的重要，大可以好好体会下这个经过。正切值tanθ便是阶数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了次数，于是悉数就有了两阶，是以咱们才能得到上头阿谁简约的式子。
08经典波动程朝阳塑料挤出机设备
再望望程右边的μ/T，如若你仔细去算下μ/T的单元，你会发现它刚好便是速率的平，也便是说如若咱们把个量界说成μ/T的平根，那么这个量的单元刚好便是速率的单元。可以遐想，这个速率天然便是这个波的传播速率v：
这样界说速率v之后，咱们终的波动程就可以亮相了：
这个程便是咱们终要找的经典波动程，为什么把它作作念佛典的波动程呢？因为它莫得磋议量子应啊，在物理学里，经典就哀痛量子的同义词。如若咱们要磋议量子应，这个经典的波动程就没用了，咱们就须转而使用量子的波动程，那便是大名鼎鼎的薛定谔程。
薛定谔便是从这个经典波动程起程，结德布罗意的物资波主张，硬猜出了薛定谔程。这个程让物理学们从被海森堡的矩阵专揽的顾忌中目田了出来，从头回到了微分程的好意思好寰宇。薛定谔程天然横蛮，但是它并莫得磋议狭义相对论应，而速阐明（近光速）的粒子在微不雅寰宇是很常见的，咱们也知谈当物体接近光速的时候就须磋议相对论应，但是薛定谔程并莫得作念到这点。
终让薛定谔程相对论化是狄拉克，狄拉克把我方关在房间三个月，终逼出了相通大名鼎鼎的狄拉克程。狄拉克程次从表面上预言了反物资（正电子），天然其时的科学们认为狄拉克这是在瞎闹，但是我国的物理学赵忠尧先生却简直在同期就次在践诺室里不雅测到了正负电子磨灭的情况。
另外，狄拉克的职责也动了量子场论的出身，开了扇让东谈主比艳羡的新寰宇大门。物理学们沿着这条路遵从了电磁力、、弱力，异型材设备配置起了粒子物理的圭臬模子，于是四海清平，六合大定，除了那活该的引力。这些精妙伦的故事咱们背面再讲，如若把这些故事写资本《量子英豪传》，嗯，定不比金庸的武侠逊~
好了，记忆正题，看到这个经典波动程到背面还能掀翻那么大的浪来，是不是一会儿就对它骚然起敬了呢？咱们这样顿操作出了经典波动程，有的一又友可能有点懵，不重要，咱们再来捋下。这个看着很复杂的，包含了二阶偏数的程其实就仅仅告诉咱们：咱们把这跟绳索小的段看作个质点，那么这个质点骄慢牛顿二定律F=ma，仅此云尔。
09复盘
咱们通盘经过不外便是去寻找F=ma中的这三个量。咱们把绳索的张力在竖直向作念了瓦解，然后得到了它在竖直进取的力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；咱们界说了单元长度的质料μ，然后就可以缠绵那小段绳索的质料m（μ·Δx）；咱们通过对波的函数f(x,t)的分析，发现如若对这种暗意距离（位移）的函数对时期求次偏数就得到了速率，再求次偏数就得到了加快度，于是咱们就得到了这段绳索的加快度a（∂²f/ ∂t²）。然后咱们就把这些量按照牛顿二定律F=ma拼了起来。
在处理问题的经过中，咱们作念了好多近似：因为咱们是取得很小的段，那么咱们就可以用Δx近似代替绳索的长度Δl；假定扰动很小，绳索偏离x轴很小，那么角度θ就很小，咱们就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。好多东谈主乍看，以为这样严格的怎么能这样粗放的近似呢？你这里近似那里近似，得到的终成果如故准确的么？
法子路这个问题，就得安妥去学习微积分了，我当今告诉你微积分的中枢想想便是种以直代曲的近似，你信么？微积分里便是用多样小段小段的直线去近似的代替弧线，但是得到的成果却哀痛常精准的。因为咱们可以把这些线段取得非凡非凡的小，或者说是穷小，那么这个缺点也就迟缓变成穷小了。是以咱们在分析这跟绳索的时候，也都强调了是取非凡小的段，给个非凡小的扰动，得到个非凡小的角度θ。
另外，tanθ便是次数，然后它们的差再除以次Δx，就又出现了次数，是以程的左边就出现了f(x,t)对位置x的两次偏数。程的右边便是函数f(x,t)对时期t求两次偏数得到的加快度a（求次数得到速率，求两次就得到加快度）。
是以，天然咱们看到的是个波动程，其实它仅仅个扮装了的牛顿二定律F=ma。露出这点，波动程就没什么奇怪的了。咱们再来仔细的凝视下这个程：
这个波动程的意旨也很直不雅，它告诉咱们f(x,t)这样个随时期t和空间x变化的函数，如若这个二元函数对空间x求两次数得到的∂²f/ ∂x²和对时期t求两次数得到的∂²f/ ∂t²之间骄慢上头的那种关系，那么f(x,t)描写的便是个波。
如若咱们去解这个程，咱们得到的便是描写波的函数f(x,t)。而咱们前边对波作念数学分析的时候得到了这样个论断：如若个函数f(x,t)描写的波，那么就定骄慢f(x,t)=f(x-vt,0)。是以，波动程的解f(x,t)战胜也都骄慢前边这个关系，这点感有趣有趣的一又友可以我方下去评释下。
好了，经典的波动程咱们就先讲到这里。有了波动程，你会发现咱们通过几步简短的运算就能从麦克斯韦程组中出电磁波的程，然后还能笃定电磁波的速率。
10真空中的麦克斯韦程组
麦克斯韦程组的微分口头是这样的：
这组程的一脉相承之前照旧作念了属主义先容，这里不再多说。这组程里，E暗意电场强度，B暗意磁感应强度，ρ暗意电荷密度，J暗意电流密度，ε0和μ0分别暗意真空中的介电常数和磁率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别暗意散度和旋度：
接下来咱们的任务，便是看如何从这组程里出电磁波的程。
先，如若的确能造成波，那么这个波战胜就要往传奇，在隔离了电荷、电流（也便是莫得电荷、电流）的地它还能我方传播。是以，咱们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，咱们得到的便是真空中的麦克斯韦程组：
有些东谈主以为你怎么能让电荷密度ρ等于0呢？这样个程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，莫得电场了么？莫得电场还怎么来的电磁波？
好多东谈主入门者都会有这样种扭曲：好像以为电场的散度▽·E等于0了，那么就莫得电场了。其实，电场的散度等于0，仅仅告诉你通过包含这点的穷小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以相差这个曲面的电通量（电场线的数目）很是。这样有若干正的电通量（进去的电场线数目）就有若干负的电通量（出来的电场线数目），相差正负对消了，是以总的电通量如故0。于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。
是以这个大定要分散明晰：电场E的散度为0不代表电场E为0，它仅仅要求电通量为0云尔，磁场也样。
这样咱们再来凝视下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦程组：程1和2告诉咱们真空中电场和磁场的散度为0，程3和4告诉咱们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。前两个程都是立的描写电和磁，后两个程则是电和磁之间的相互关系。咱们隐费解约也能嗅觉到：如若要出电磁波的程，你战胜得把上头几个式子综起来，因为波是要往传奇的，而你上头单的程都仅仅描写某点的旋度或者散度。
有个很简短的把它们都综在起的法：对程3和程4双方同期再取次旋度。
程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取次旋度就变成了▽×（▽×E）；程3的右边是磁场的变化率，对右边取次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟程4辩论起来了么？对程4双方取旋度看起来也样，这看起来是个可以的兆头。
可能有些一又友会有些疑问：你凭什么对程3和4的双方取旋度，而不取散度呢？如若感有趣有趣你可以双方都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的成果恒等于0。
这点你看程3 的右边会明晰，程3的右边是磁场的变化率，你如若对程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0便是程2的内容）。这样就得不出什么专诚旨的成果，你算出0=0能得到什么呢？
是以，咱们当今的问题变成了：如何求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因为旋度毕竟和叉乘密切关系，是以咱们如故先来望望叉乘的叉乘。
11叉乘的叉乘
在积分篇和微分篇里，我照旧跟大属目先容了矢量的点乘和叉乘，况兼咱们还知谈点乘的成果A·B是个标量，而叉乘的成果A×B是个矢量（向可以用右手定章来判断，右手从A指向B，大拇指的向便是A×B的向）。
而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的成果是个标量，它就不可再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。但是，A×B的成果仍然是个矢量啊，那么按照风趣风趣它还可以接续跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样咱们的运算就可以有三个矢量参与，这种成果咱们就称为三重积。
A·（B×C）的成果是个标量，是以这叫标量三重积；A×（B×C）的成果如故个矢量，它叫矢量三重积。
标量三重积A·（B×C）其实很简短，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们构成的平行四边形的面积，那么这个面积再和个矢量点乘把，你会发现这刚好便是三个矢量A、B、C构成的平行六面体的体积。
这个大对着上头的图稍稍想就会明白。况兼，既然是体积，那么你粗放换它们的法式战胜都不会影响终的成果。咱们实在要磋议的，如故矢量三重积。
矢量三重积A×（B×C），跟咱们上头说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）口头相近，密切关系。它莫得上头标量三重积那样简短直不雅的几何意旨，咱们好像只能从数学上去，这个经过，哎，我如故径直写成果吧：
A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。
成果是这样个东西，是不是很出丑？嗯，确乎有点丑。不外记这个公式有个简短的口诀：纵横阖捭。什么叫纵横阖捭呢？往时秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近些，距离C远些，是以A要联C（A·C前边的符是正号）攻B（A·B前边的标记是负号），这样这个公式就好记了，感有趣有趣的可以我方去完成的经过。
12旋度的旋度
有了矢量三重积的公式，咱们就来独具匠心，来套套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。咱们对比下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只消把A和B都换成▽，把C换成E就行了。那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。
嗯，▽（▽·E）暗意电场E的散度的梯度，散度▽·E的成果是个标量，标量的梯度的专诚旨的，但是背面阿谁E（▽·▽）是什么鬼？两个▽算子挤在起，中间如故个点乘的标记，看起来好像是在求▽的散度（▽·），但是▽是个算子，又不是个矢量函数，你怎么求它的散度？况兼两个▽前边有个电场E，怎么E还跑到▽算子的前边去了？
咱们再看下矢量三重积的公式的背面项C（A·B）。这个式子的风趣是矢量A和B行点乘，点乘的成果A·B是个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。很昭着的，如若是个标量和个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前边背面都所谓（3C=C3），也便是说C（A·B）=（A·B）C。
那么，相通的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就牵连出了另个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。
13拉普拉斯算子▽²
拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的平，其实它的界说是梯度的散度。
咱们假定空间上点（x,y,z）的温度由T（x,y,z）来暗意，那么这个温度函数T（x,y,z）便是个标量函数，咱们可以对它取梯度▽T，因为梯度是个矢量（梯度有向，指向变化快的阿谁向），是以咱们可以再对它取散度▽·。
咱们专揽咱们在微分篇学的▽算子的张开式和矢量坐标乘法的轨则，咱们就可以把温度函数T（x,y,z）的梯度的散度（也便是▽²T）暗意出来：
再对比下三维的▽算子：
是以，咱们把上头的成果（梯度的散度）写成▽²也哀痛常容易露出的，它跟▽算子的判袂也便是每项多了个平。于是，拉普拉斯算子▽²就天然可以写成这样：
从拉普拉斯算子▽²的界说咱们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是咱们把▽²稍稍扩展下，就能让它也作用于矢量函数V（x,y,z）。咱们只消让矢量函数的每个重量分别去取▽²，就可以界说矢量函数的▽²：
界说了矢量函数的拉普拉斯算子，咱们稍稍谨防下底下的这个论断（课下我方去评释）：
然后再望望中间的阿谁东西，是不是有点眼熟？
咱们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？当今咱们就可以无庸婉词地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。
至此，咱们专揽矢量的三重积公式电场E的旋度的旋度的经过就兑现了，然后咱们就得到了这个其重要的论断：
它告诉咱们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的程立马就可以出来了。
14见证古迹的时刻
咱们再来望望真空中的麦克斯韦程组：
它的三个程，也便是法拉定律是这样暗意的：
咱们对这个公式双方都取旋度，左边便是上头的论断，右边非便是对磁感应强度B取个旋度，即：
你望望这几项，再望望真空中的麦克斯韦程组：程1告诉咱们▽·E=0，程4告诉咱们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），咱们把这两项代入到上头的式子中去，那成果天然就变成了：
μ0、ε0都是常数，那右边天然就变成了对电场E求两次偏。再把负号整理下，后的式子便是这样：
嗯，于是咱们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个程只包含电场E。咱们再对比下咱们之前叨唠了那么多得出的经典波动程：
咱们在经典波动程的时候只磋议了维的情况，因为咱们只磋议波沿着绳索这个维度传播的情况，是以咱们的成果里惟有∂²f/ ∂x²这项。如若咱们磋议三维的情况，那么不难遐想波动程的左边应该写成三项，这三项刚好便是f的三维拉普拉斯：
是以咱们的经典波动程其实可以用拉普拉斯算子写成如下普适的口头：
再望望咱们刚刚从麦克斯韦程组中得到的电场程：
嗯，咱们出的电场的程跟经典波动程的口头是容颜的，当今咱们说电场E是个波，你还有任何异议么？
咱们把电场E变成了个立的程，代价是这个程变成了二阶（程出现了平项）的。对于磁场，样的操作，咱们对真空中麦克斯韦程组的程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））双方取旋度，再重迭次上头的经过，就会得到立的磁感应强度B的程：
这样，咱们就发现E和B都骄慢波动程，也便是说电场、磁场都以波动的口头在空间中传播，这天然便是电磁波了。
15电磁波的速率
对比下电场和磁场的波动程，你会发现它们是口头是容颜的（便是把E和B互换了下），这样，它们的波速也应该是样的。对比下经典波动程的速率项，电磁波的速率v天然便是这样：
咱们去查下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算算：
再查下真空中的光速 c=299792458m/s。
前者是咱们从麦克斯韦程组算出来的电磁波的速率，后者是从践诺里测出来的光速。有这样的数据作念撑抓，麦克斯韦往时才敢斗胆的臆度：光便是种电磁波。
天然，“光是种电磁波”在咱们当今看来并不有数，但是你牵挂下历史：科学们是在研究多样电表象的时候引入了真空介电常数ε0，在研究磁铁的时候引入了真空磁率μ0，它们根蒂就跟光关。麦克斯韦基于表面的好意思学和他惊东谈主的数学才能，提倡了位移电流假说（从里咱们也可以看到：如若莫得麦克斯韦加入的位移电流这项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速率只跟μ0、ε0关系，还刚好就等于东谈主们测量的光速，这如何能不让东谈主胆怯？
麦克斯韦直以为我方在研究电磁表面，但是当他的电磁大厦落成时，他却或然地发现光的问题也被顺遂解决了，本来他直在盖的是电磁光大厦。搞表面研究还可以买二送，折促销力度如斯之大，惊不惊喜，意不料外？
总之，麦克斯韦信赖我方的程，信赖光是种电磁波，当赫兹终在践诺室里发现了电磁波，并阐明它的速率确乎等于光速之后，麦克斯韦和他的表面得回了上的荣耀。因斯坦自后却因为不太信赖我方的程（认为寰宇不可能在膨大）转而去修改了它，于是他就错失了预言寰宇膨大的契机。当自后哈勃用千里镜不雅测到寰宇确乎在膨大时，因斯坦为此悔过不已。
16结语
牵挂下电磁波的经过，咱们便是在真空麦克斯韦程组的程3和程4的双方取旋度，然后就很天然的得出了电磁波的程，然后得到了电磁波的速率等于光速c。这里有个很要害的问题：这个电磁波的速率是相对谁的？相对哪个参考系而言的？
在牛顿力学里，咱们说个物体的速率，战胜是相对某个参考系而言的。你说铁的速率是300km/h，这是相对大地的，你相对太阳那速率就大了。这个风趣风趣在咱们前边商讨的波那里也样，咱们说波的速率般都是这个波相对于它所在介质的速率：比如绳索上的波通过绳索传播，这个速率便是相对于绳索而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速率便是相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空入耳不到声息），声波的速率就天然是相对空气的速率。
那么，电磁波呢，从麦克斯韦程组出的电磁波的速率是相对谁的？水？空气？昭着都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质才能传播，它在真空中也能传播，否则你是怎么看到太阳光和寰宇处的星光的？况兼咱们在电磁波的经过中也根本莫得预设任何参考系。
于是其时的物理学们就假定电磁波的介质是种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是大动手去寻找以太，但是怎么找都找不到。另面，电磁波的发现大地支抓了麦克斯韦的电磁表面，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像了当今广义相对论和量子力学之间的矛盾。怎么办呢？
1879年，麦克斯韦圆寂，同庚，因斯坦降生，这仿佛是两代伟东谈主的个嘱托典礼。麦克斯韦电磁表面与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年青的因斯坦处理了，因斯坦处理它们的法便是大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁表面提倡来之后，狭义相对论的问世就简直是然的了，因为麦克斯韦的电磁表面其实便是狭义相对论框架下的表面，这亦然它跟牛顿力学罗唆的中枢。是以，因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电能源学》。
麦克斯韦的电磁表面兑现了个时间，却又开启了个新时间（相对论时间），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论才能解决这种矛盾？这些将是我背面要商讨的。我会奋力让大看到科学的发展有它澄澈的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就提倡个震天动地的新表面出来的。
此外，电磁表面和牛顿力学的融是东谈主类解决两个非凡成功却又径直罗唆表面的次非凡认的确教训，这跟咱们当今靠近的问题（广义相对论和量子力学的罗唆）非凡肖似。我但愿大致通过这种阐扬给心爱科学的少年们些启示，让他们以背面对广义相对论和量子力学罗唆的时候，大致有些灵感。
嗯，没错，我在期待改日的因斯坦~
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